1.59. Вычислите: а) \(\frac{A_{12}^{4}-A_{11}^{4}}{A_{10}^{3}}\); б) \(\frac{A_{15}^{4}+A_{14}^{5}}{A_{15}^{3}}\); в) \(\frac{A_{13}^{3}}{A_{15}^{3}-A_{14}^{3}}\); г) \(\frac{A_{13}^{3}}{A_{14}^{4}-A_{13}^{4}}\); д) \(\frac{A_{12}^{4}\cdot7!}{A_{11}^{9}}\); е) \(\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^{3}\cdot12!}\).

Используем формулу размещений без повторений: \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\).

1. а) \(A_{12}^4=12\cdot11\cdot10\cdot9\), \(A_{11}^4=11\cdot10\cdot9\cdot8\), \(A_{10}^3=10\cdot9\cdot8\). Поэтому \(\frac{A_{12}^4-A_{11}^4}{A_{10}^3}=\frac{10\cdot11\cdot9(12-8)}{10\cdot9\cdot8}=\frac{11}{2}\).
2. б) \(A_{15}^4=15\cdot14\cdot13\cdot12\), \(A_{14}^5=14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\), \(A_{15}^3=15\cdot14\cdot13\). После вынесения общих множителей получаем \(\frac{A_{15}^4+A_{14}^5}{A_{15}^3}=\frac{12(15+110)}{15}=100\).
3. в) \(A_{13}^3=13\cdot12\cdot11\). В знаменателе \(A_{15}^3-A_{14}^3=15\cdot14\cdot13-14\cdot13\cdot12=14\cdot13\cdot3\). Значит, результат равен \(\frac{12\cdot11}{14\cdot3}=\frac{22}{7}\).
4. г) \(A_{14}^4-A_{13}^4=14\cdot13\cdot12\cdot11-13\cdot12\cdot11\cdot10=13\cdot12\cdot11\cdot4\). Тогда \(\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4-A_{13}^4}=\frac{13\cdot12\cdot11}{13\cdot12\cdot11\cdot4}=\frac14\).
5. д) \(A_{12}^4=12\cdot11\cdot10\cdot9\), а \(A_{11}^9=11!\). Следовательно, \(\frac{A_{12}^4\cdot7!}{A_{11}^9}=\frac{12\cdot10\cdot9\cdot7!}{10!}=\frac{108}{8\cdot9\cdot10}=\frac{3}{20}\).
6. е) \(A_{15}^{12}=\frac{15!}{3!}\), \(A_{16}^3=16\cdot15\cdot14\). Поэтому \(\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3\cdot12!}=\frac{15!}{3!\cdot16\cdot15\cdot14\cdot12!}=\frac{13}{16\cdot6}=\frac{13}{96}\).

Ответ: а) \(\frac{11}{2}\); б) 100; в) \(\frac{22}{7}\); г) \(\frac14\); д) \(\frac{3}{20}\); е) \(\frac{13}{96}\).