1.61. Найдите натуральное число $x$, для которого выполняется равенство: а) $A_x^2=72$; б) $A_{x-1}^2=110$; в) $A_{x+1}^2=90$; г) $A_x^3-A_x^2=0$; д) $A_{x+1}^3-A_{x-1}^3=96$; е) $A_{x+1}^4+A_x^4=144$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.61. Найдите натуральное число $x$, для которого выполняется равенство: а) $A_x^2=72$; б) $A_{x-1}^2=110$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем $A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.

а) $x(x-1)=72$, то есть $x^2-x-72=0$. Корни: 9 и −8; натуральное решение — $x=9$.
б) $(x-1)(x-2)=110$. Тогда $x^2-3x-108=0$, откуда $x=12$ или $x=-9$. Натуральное решение — $x=12$.
в) $(x+1)x=90$. Тогда $x^2+x-90=0$, откуда $x=9$ или $x=-10$. Натуральное решение — $x=9$.
г) $x(x-1)(x-2)-x(x-1)=0$. Выносим общий множитель: $x(x-1)(x-3)=0$. Из натуральных значений подходит $x=3$.
д) $(x+1)x(x-1)-(x-1)(x-2)(x-3)=96$. Выносим $x-1$: $(x-1)[x(x+1)-(x-2)(x-3)]=96$. В скобках $6x-6=6(x-1)$, поэтому $6(x-1)^2=96$, откуда $(x-1)^2=16$. Натуральное решение $x=5$.
е) $(x+1)x(x-1)(x-2)+x(x-1)(x-2)(x-3)=144$. Выносим $x(x-1)(x-2)$: получаем $x(x-1)(x-2)[(x+1)+(x-3)]=144$, то есть $2x(x-1)^2(x-2)=144$. При $x=4$ левая часть равна 144, значит $x=4$.

Ответ: а) 9; б) 12; в) 9; г) 3; д) 5; е) 4.

1.61. Найдите натуральное число \(x\), для которого выполняется равенство: а) \(A_x^2=72\); б) \(A_{x-1}^2=110\); в) \(A_{x+1}^2=90\); г) \(A_x^3-A_x^2=0\); д) \(A_{x+1}^3-A_{x-1}^3=96\); е) \(A_{x+1}^4+A_x^4=144\).