1 - 5sin 2x - cos 2x = 12cos^2 x

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

1. Преобразуем уравнение:

Нам нужно привести все к одному виду. Используем формулы двойного угла:

sin 2x = 2sin x cos x

cos 2x = 2cos^2 x - 1

Подставим их в уравнение:

• \[ 1 - 5(2\sin x \cos x) - (2\cos^2 x - 1) = 12\cos^2 x \]
• \[ 1 - 10\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 1 = 12\cos^2 x \]
• \[ 2 - 10\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 12\cos^2 x \]

Перенесем все члены в одну сторону:

• \[ 2 - 10\sin x \cos x - 2\cos^2 x - 12\cos^2 x = 0 \]
• \[ 2 - 10\sin x \cos x - 14\cos^2 x = 0 \]

Разделим все на 2:

• \[ 1 - 5\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 0 \]

2. Использование основного тригонометрического тождества:

Заменим 1 на sin^2 x + cos^2 x:

• \[ (\sin^2 x + \cos^2 x) - 5\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 0 \]
• \[ \sin^2 x - 5\sin x \cos x - 6\cos^2 x = 0 \]

3. Решение однородного уравнения:

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos^2 x (предполагая, что cos x ≠ 0. Если cos x = 0, то sin x = ±1, и уравнение (±1)^2 = 0 не выполняется, значит cos x ≠ 0).

• \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{6\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]
• \[ \operatorname{tg}^2 x - 5\operatorname{tg} x - 6 = 0 \]

4. Замена переменной:

Пусть y = tg x. Получаем квадратное уравнение:

• \[ y^2 - 5y - 6 = 0 \]

5. Решение квадратного уравнения:

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \]
• \[ D = 25 + 24 = 49 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
• \[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

6. Обратная замена:

Возвращаемся к tg x.

• Случай 1: tg x = 6

Это означает, что:

• \[ x = \operatorname{arctg}(6) + \pi n \]

• Случай 2: tg x = -1

Это частный случай:

• \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \]

где n и k — любые целые числа.

Ответ:

• \[ x = \operatorname{arctg}(6) + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]