14sin^2 x - 4cos^2 x = 5sin 2x

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

1. Преобразуем уравнение:

Нам нужно привести все к одному виду. Используем формулу двойного угла для синуса: sin 2x = 2sin x cos x. Также вспомним основное тригонометрическое тождество: sin^2 x + cos^2 x = 1.

Преобразуем cos^2 x:

• \[ 14\sin^2 x - 4(1 - \sin^2 x) = 5(2\sin x \cos x) \]
• \[ 14\sin^2 x - 4 + 4\sin^2 x = 10\sin x \cos x \]
• \[ 18\sin^2 x - 4 = 10\sin x \cos x \]

Перенесем все в одну сторону:

• \[ 18\sin^2 x - 10\sin x \cos x - 4 = 0 \]

Разделим на 2:

• \[ 9\sin^2 x - 5\sin x \cos x - 2 = 0 \]

Теперь заменим -2 на -2(sin^2 x + cos^2 x), чтобы получить однородное уравнение:

• \[ 9\sin^2 x - 5\sin x \cos x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \]
• \[ 9\sin^2 x - 5\sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0 \]
• \[ 7\sin^2 x - 5\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 \]

2. Решение однородного уравнения:

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos^2 x (предполагая, что cos x ≠ 0. Если cos x = 0, то sin x = ±1, и уравнение 7(±1)^2 = 0 не выполняется, значит cos x ≠ 0).

• \[ \frac{7\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]
• \[ 7\operatorname{tg}^2 x - 5\operatorname{tg} x - 2 = 0 \]

3. Замена переменной:

Пусть y = tg x. Тогда получаем квадратное уравнение:

• \[ 7y^2 - 5y - 2 = 0 \]

4. Решение квадратного уравнения:

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) \]
• \[ D = 25 + 56 = 81 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1 \]
• \[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 - 9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7} \]

5. Обратная замена:

Возвращаемся к tg x.

• Случай 1: tg x = 1

Это частный случай:

• \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \]

• Случай 2: tg x = -2/7

Это означает, что:

• \[ x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{2}{7}\right) + \pi k \]

где n и k — любые целые числа.

Ответ:

• \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{2}{7}\right) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]