3sin^2 x - 5sin x - 8 = 0

Привет! Давай разберемся с этим тригонометрическим уравнением.

1. Замена переменной:

Видишь, что sin x повторяется? Давай введем новую переменную, пусть y = sin x.

Теперь наше уравнение выглядит так:

• \[ 3y^2 - 5y - 8 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения:

Это обычное квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) \]
• \[ D = 25 + 96 = 121 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \]
• \[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]

3. Обратная замена:

Теперь подставим обратно sin x вместо y.

• Случай 1: sin x = 8/3

Вспоминаем, что значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1. Поэтому 8/3 нам не подходит. Корней нет.

• Случай 2: sin x = -1

Это частный случай. Мы знаем, что синус равен -1 при:

• \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \]

где n — любое целое число.

Ответ:

• \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]