1.6.70. Решите неравенство -3x³ + 7x + 2x² + 2 < 0.

Решение:

Для решения неравенства \( -3x^3 + 2x^2 + 7x + 2 < 0 \) сначала найдём корни соответствующего уравнения \( -3x^3 + 2x^2 + 7x + 2 = 0 \).

Попробуем подобрать целочисленные корни среди делителей свободного члена (2): \( \pm 1, \pm 2 \).

При \( x = -1 \): \( -3(-1)^3 + 2(-1)^2 + 7(-1) + 2 = 3 + 2 - 7 + 2 = 0 \). Значит, \( x = -1 \) — корень.

Разделим многочлен \( -3x^3 + 2x^2 + 7x + 2 \) на \( (x+1) \) столбиком или по схеме Горнера:

   -3   2   7   2
-1     3  -5  -2
----------------
   -3   5   2   0

Получаем \( -3x^2 + 5x + 2 \). Теперь решим уравнение \( -3x^2 + 5x + 2 = 0 \).

Дискриминант \( D = 5^2 - 4(-3)(2) = 25 + 24 = 49 \).

Корни: \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(-3)} = \frac{-5 \pm 7}{-6} \).

\( x_1 = \frac{-5 + 7}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} \).

\( x_2 = \frac{-5 - 7}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2 \).

Корни уравнения: \( x = -1, x = -\frac{1}{3}, x = 2 \).

Теперь построим числовую прямую и отметим корни. Знаки интервалов определим, подставляя значения или учитывая старший коэффициент \( -3 \) (отрицательный) и чётность корней.

Интервалы: \( (-\infty, -1), (-1, -1/3), (-1/3, 2), (2, \infty) \).

Проверим знак на интервале \( (2, \infty) \), например, при \( x=3 \): \( -3(3)^3 + 2(3)^2 + 7(3) + 2 = -81 + 18 + 21 + 2 = -40 < 0 \).

Знаки интервалов (слева направо): +, -, +, -.

Нам нужно \( < 0 \), поэтому выбираем интервалы \( (-1, -1/3) \) и \( (2, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-1; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty) \).