1.6.72. Решите уравнение x⁴ - 13(x² - 3) = 3.

Решение:

Раскроем скобки в уравнении: \( x^4 - 13x^2 + 39 = 3 \).

Перенесём все члены в левую часть: \( x^4 - 13x^2 + 39 - 3 = 0 \).

\( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \).

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \).

Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 13y + 36 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Можно использовать теорему Виета, так как \( 1 \times 36 = 36 \) и \( (-9) + (-4) = -13 \).

Корни уравнения для \( y \): \( y_1 = 4 \) и \( y_2 = 9 \).

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \) для каждого корня:

1. \( x^2 = 4 \)

Отсюда \( x = \pm \sqrt{4} \), то есть \( x = \pm 2 \).

1. \( x^2 = 9 \)

Отсюда \( x = \pm \sqrt{9} \), то есть \( x = \pm 3 \).

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: \( x = 2, x = -2, x = 3, x = -3 \).