1.6.71. Решите уравнение x⁴ - 10x² + 25 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \).

Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 10y + 25 = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его:

Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4(1)(25) = 100 - 100 = 0 \).

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:

\[ y = \frac{-(-10)}{2(1)} = \frac{10}{2} = 5 \]

Теперь вернёмся к замене: \( x^2 = y \).

\( x^2 = 5 \).

Отсюда получаем два корня:

\[ x = \pm \sqrt{5} \]

Ответ: \( x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5} \).