1. (8 баллов). Алгебраическая дробь \(\frac{x + 3xy - 2}{2x + y}\) равна 3 при \(x = 2\). При каком \(x\) она будет равна 6?

Решение:

Сначала найдём значение \(y\), подставив \(x = 2\) в уравнение:

\[ \frac{2 + 3(2)y - 2}{2(2) + y} = 3 \]\[ \frac{6y}{4 + y} = 3 \]\[ 6y = 3(4 + y) \]\[ 6y = 12 + 3y \]\[ 3y = 12 \]\[ y = 4 \]

Теперь подставим \(x = 2\) и \(y = 4\) в дробь и приравняем её к 6:

\[ \frac{x + 3xy - 2}{2x + y} = 6 \]\[ \frac{2 + 3(2)(4) - 2}{2(2) + 4} = \frac{2 + 24 - 2}{4 + 4} = \frac{24}{8} = 3 \]

Это не соответствует условию, что дробь равна 6. В условии есть ошибка, так как при \(x=2\) и \(y=4\) дробь равна 3, а не 6. Пересчитаем, приравнивая дробь к 6, подставив \(y=4\):

\[ \frac{x + 3x(4) - 2}{2x + 4} = 6 \]\[ \frac{x + 12x - 2}{2x + 4} = 6 \]\[ \frac{13x - 2}{2x + 4} = 6 \]\[ 13x - 2 = 6(2x + 4) \]\[ 13x - 2 = 12x + 24 \]\[ 13x - 12x = 24 + 2 \]\[ x = 26 \]

Проверим:

\[ \frac{26 + 3(26)(4) - 2}{2(26) + 4} = \frac{26 + 312 - 2}{52 + 4} = \frac{336}{56} = 6 \]

Ответ: 3) 26.