3. (8 баллов). Решите неравенство \(\frac{4 - x}{x - 5} \ge \frac{1}{1 - x}\) и найдите сумму его целочисленных решений.

Решение:

Перенесём все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить ноль справа:

\[ \frac{4 - x}{x - 5} - \frac{1}{1 - x} \ge 0 \]

Приведём к общему знаменателю. Заметим, что \(1 - x = -(x - 1)\), поэтому можем привести к знаменателю \((x - 5)(x - 1)\):

\[ \frac{(4 - x)(x - 1)}{(x - 5)(x - 1)} - \frac{1(x - 5)}{(1 - x)(x - 1)} \ge 0 \]\[ \frac{(4 - x)(x - 1)}{(x - 5)(x - 1)} - \frac{-(x - 5)}{(x - 1)(x - 1)} \ge 0 \]

Исправим знаменатель второй дроби:

\[ \frac{(4 - x)(x - 1)}{(x - 5)(x - 1)} - \frac{1(x - 5)}{(1 - x)(x - 1)} \ge 0 \]

Заменим \(1-x\) на \(-(x-1)\) во второй дроби:

\[ \frac{4 - x}{x - 5} - \frac{1}{-(x - 1)} \ge 0 \]

\[ \frac{4 - x}{x - 5} + \frac{1}{x - 1} \ge 0 \]

Приведём к общему знаменателю \((x - 5)(x - 1)\):

\[ \frac{(4 - x)(x - 1) + 1(x - 5)}{(x - 5)(x - 1)} \ge 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{4x - 4 - x^2 + x + x - 5}{(x - 5)(x - 1)} \ge 0 \]

\[ \frac{-x^2 + 6x - 9}{(x - 5)(x - 1)} \ge 0 \]

Вынесем минус из числителя и поменяем знак неравенства:

\[ \frac{-(x^2 - 6x + 9)}{(x - 5)(x - 1)} \ge 0 \]

\[ \frac{-(x - 3)^2}{(x - 5)(x - 1)} \ge 0 \]

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

\[ \frac{(x - 3)^2}{(x - 5)(x - 1)} \le 0 \]

Числитель \((x - 3)^2\) всегда больше или равен нулю. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным, или числитель был равен нулю.

Случай 1: \((x - 3)^2 = 0\) => \(x = 3\). Подставим \(x = 3\) в исходное неравенство:

\[ \frac{4 - 3}{3 - 5} = \frac{1}{-2} = -0.5 \]

\[ \frac{1}{1 - 3} = \frac{1}{-2} = -0.5 \]

\(-0.5 \ge -0.5\) — верно. Значит, \(x = 3\) является решением.

Случай 2: Знаменатель отрицателен, а числитель положителен (или равен нулю, но этот случай уже рассмотрен).

\((x - 5)(x - 1) < 0\)

Это происходит, когда \(1 < x < 5\).

Объединяем решения: \(x = 3\) и \(1 < x < 5\). В итоге получаем интервал \((1, 5)\) вместе с точкой \(x=3\), что эквивалентно \((1, 5)\).

Целочисленные решения в интервале \((1, 5)\) — это \(x = 2, 3, 4\).

Сумма целочисленных решений: \(2 + 3 + 4 = 9\).

Ответ: 4) 9.