2. (8 баллов). Вычислите \(\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}\).

Решение:

Для вычисления приведём дроби к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение:

1. Первая дробь:



\[ \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} + \sqrt{2} \]




2. Вторая дробь:



\[ \frac{5}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{7 - 2} = \frac{5(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{5} = \sqrt{7} - \sqrt{2} \]




3. Третья дробь:



\[ \frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5} \]

Теперь сложим и вычтем полученные выражения:

\[ (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{7} - \sqrt{2}) - (\sqrt{7} + \sqrt{5}) \]

\[ \sqrt{5} + \sqrt{2} + \sqrt{7} - \sqrt{2} - \sqrt{7} - \sqrt{5} \]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[ (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) = 0 + 0 + 0 = 0 \]

Ответ: 3) 0.