1.8. Постройте график заданной функции, найдите область определения и область значений функции: а) y = x² + 2; б) y = 3 − 2x²; в) y = 1/2 x² − 4; г) y = −1,5x² − 2.

Question

Вопрос:

Фото задания: 1.8. Постройте график заданной функции, найдите область определения и область значений функции: а) y = x² + 2; б) y = 3 −…

1.8. Постройте график заданной функции, найдите область определения и область значений функции: а) y = x² + 2; б) y = 3 − 2x²; в) y = 1/2 x² − 4; г) y = −1,5x² − 2.

Accepted Answer

Все функции содержат \(x^2\), поэтому их графики — параболы с вершиной на оси ординат. Область определения каждой функции: \(D(y)=\mathbb{R}\).

а) \(y=x^2+2\). Вершина: \((0;2)\), ветви направлены вверх. Точки: \((-2;6),(-1;3),(0;2),(1;3),(2;6)\). Минимальное значение равно \(2\), поэтому \(E(y)=[2;+\infty)\).
б) \(y=3-2x^2\). Вершина: \((0;3)\), ветви направлены вниз. Точки: \((-2;-5),(-1;1),(0;3),(1;1),(2;-5)\). Максимальное значение равно \(3\), поэтому \(E(y)=(-\infty;3]\).
в) \(y=\frac12x^2-4\). Вершина: \((0;-4)\), ветви направлены вверх. Точки: \((-2;-2),(-1;-3.5),(0;-4),(1;-3.5),(2;-2)\). Минимальное значение равно \(-4\), поэтому \(E(y)=[-4;+\infty)\).
г) \(y=-1.5x^2-2\). Вершина: \((0;-2)\), ветви направлены вниз. Точки: \((-2;-8),(-1;-3.5),(0;-2),(1;-3.5),(2;-8)\). Максимальное значение равно \(-2\), поэтому \(E(y)=(-\infty;-2]\).

Ответ: области определения всех функций — \(\mathbb{R}\); области значений: а) \([2;+\infty)\); б) \((-\infty;3]\); в) \([-4;+\infty)\); г) \((-\infty;-2]\).