1) A(−2; 4), B(4; −2), C(−8; −14), D(6; 8). Найти: а) координаты векторов AB, CD; б) длину вектора BC; в) координаты точки M — середины AB, координаты точки N — середины CD; г) уравнение окружности с диаметром BC; д) уравнение прямой BD.

а) Координаты векторов

Координаты вектора равны разностям координат его конца и начала:

\(\overrightarrow{AB}=(4-(-2);\,-2-4)=(6; -6)\).

\(\overrightarrow{CD}=(6-(-8);\,8-(-14))=(14; 22)\).

б) Длина вектора BC

\(\overrightarrow{BC}=(-8-4;\,-14-(-2))=(-12; -12)\).

По формуле длины вектора: \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-12)^2+(-12)^2}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}\).

в) Координаты середин отрезков

\(M\) — середина \(AB\): \(M\left(\frac{-2+4}{2};\frac{4+(-2)}{2}\right)=(1; 1)\).

\(N\) — середина \(CD\): \(N\left(\frac{-8+6}{2};\frac{-14+8}{2}\right)=(-1; -3)\).

г) Уравнение окружности с диаметром BC

Центр окружности — середина \(BC\): \(O\left(\frac{4+(-8)}{2};\frac{-2+(-14)}{2}\right)=(-2; -8)\). Радиус равен половине длины диаметра, поэтому \(r=6\sqrt{2}\), \(r^2=72\).

Уравнение окружности: \((x+2)^2+(y+8)^2=72\).

д) Уравнение прямой BD

Угловой коэффициент прямой: \(k=\frac{8-(-2)}{6-4}=5\). Подставим точку \(B(4;-2)\) в уравнение \(y=kx+b\): \(-2=5\cdot4+b\), значит, \(b=-22\).

Уравнение прямой: \(y=5x-22\) (или \(5x-y-22=0\)).