1) A(-2;4), B(4;-2), C(-8;-14), D(6;8) Найти: а) координаты векторов AB,CD б) длину вектора BC в) координаты точки М - середины АВ координаты точки N - середины CD г) MN; AD д) уравнение окружности с диаметром BC е) уравнение прямой BD

a) Координаты вектора AB: \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - (-2), -2 - 4) = (6, -6)\) Координаты вектора CD: \(\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (6 - (-8), 8 - (-14)) = (14, 22)\) b) Длина вектора BC: \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(-8 - 4)^2 + (-14 - (-2))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\) в) Координаты точки M (середины AB): \(M = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}) = (\frac{-2 + 4}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{2}{2}) = (1, 1)\) Координаты точки N (середины CD): \(N = (\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}) = (\frac{-8 + 6}{2}, \frac{-14 + 8}{2}) = (\frac{-2}{2}, \frac{-6}{2}) = (-1, -3)\) г) Вектор MN: \(\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M) = (-1 - 1, -3 - 1) = (-2, -4)\) Вектор AD: \(\overrightarrow{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (6 - (-2), 8 - 4) = (8, 4)\) д) Уравнение окружности с диаметром BC: Центр окружности - середина BC: \(O = (\frac{4 - 8}{2}, \frac{-2 - 14}{2}) = (-2, -8)\) Радиус окружности \(r = \frac{|BC|}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) Уравнение окружности: \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\) => \((x + 2)^2 + (y + 8)^2 = (6\sqrt{2})^2\) => \((x + 2)^2 + (y + 8)^2 = 72\) е) Уравнение прямой BD: Находим вектор направления прямой \(\overrightarrow{BD} = (6-4, 8-(-2)) = (2,10)\) . Упростим вектор (1,5) Уравнение прямой в векторном виде: \((x,y) = (4,-2) + t(1,5)\) Параметрические уравнения: x = 4 + t y = -2 + 5t t = x - 4 y = -2 + 5(x-4) y = -2 + 5x - 20 y = 5x - 22 5x - y -22 = 0