1. А, В₁, BC и B₁C₁ — сходственные стороны подобных треугольников ABC и A₁B₁C₁, BC : B₁C₁ = 2,5, A₁C₁ = 4 см, ∠B = 47°21′. Найдите ∠B₁, AC и отношение площадей этих треугольников.

Решение:

1. Находим отношение сторон:

   Из условия известно, что BC : B₁C₁ = 2,5. Это означает, что коэффициент подобия k = 2,5.

2. Находим сторону AC:

   Поскольку треугольники подобны, отношение их сходственных сторон равно коэффициенту подобия:

   AC : A₁C₁ = k

   \[ AC : 4 = 2,5 \]

   Найдем AC:

   \[ AC = 4 \times 2,5 = 10 \] см.

3. Находим угол ∠B₁:

   У подобных треугольников сходственные углы равны. Так как BC и B₁C₁ — сходственные стороны, то углы, лежащие напротив них (∠A и ∠A₁, ∠B и ∠B₁, ∠C и ∠C₁), также сходственные.

   Следовательно, \[ \angle B_1 = \angle B = 47°21' \].

4. Находим отношение площадей:

   Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

   \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \]

   \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = (2,5)^2 = 6,25 \].

Ответ: ∠B₁ = 47°21′, AC = 10 см, отношение площадей S_ABC : S_A₁B₁C₁ = 6,25.