1. ABCD — прямоугольник. По отметкам на рисунке BN и CM — биссектрисы углов B и C, точки M и N лежат на AD. Доказать: BN = CM.

Так как ABCD — прямоугольник, его углы B и C равны 90°. Биссектрисы делят их пополам, поэтому ∠ABN = ∠BCM = 45°.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABN и BCM. Их гипотенузы равны: AB = CD = AB как противоположные стороны прямоугольника (то есть AB = BC не требуется); кроме того, катеты у этих треугольников имеют равные длины по построению биссектрис: точка N отстоит от B на одинаковые горизонтальную и вертикальную составляющие, как точка M от C. Следовательно, BN = CM.

Более непосредственно: обозначим ширину прямоугольника AD через w, а высоту AB через h. Из углов 45° следует, что расстояние по AD от A до N равно h, а от M до D также равно h. Тогда по теореме Пифагора BN² = h² + h² и CM² = h² + h².

Ответ: BN = CM.