1. ABCD — прямоугольник. Точки M и N лежат на AD; BN и CM — биссектрисы углов B и C соответственно. Доказать: BN = CM.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому AB = CD. Углы A и D прямые, а BN и CM — биссектрисы, значит \(\angle ABN = \angle DCM = 45^\circ\).

Треугольники ABN и DCM прямоугольные: \(\angle BAN = \angle CDM = 90^\circ\). В них равны гипотенузы AB и CD и по одному острому углу.

Следовательно, треугольники ABN и DCM равны, откуда равны соответствующие стороны: BN = CM.