1.ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. AA₁ = 8см. Найти угол между прямыми AA₁ и BC; площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Угол между прямыми AA₁ и BC:

Так как ABCD — правильная призма, то AA₁ параллельна BB₁, CC₁, DD₁. Также, BC является стороной основания, а AA₁ — боковым ребром. Прямая AA₁ перпендикулярна плоскости основания ABCD. Так как BC лежит в плоскости основания, то AA₁ перпендикулярна BC.

Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°.

2. Площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей боковой поверхности и площадей двух оснований: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \).

Основание призмы — квадрат ABCD со стороной AB = 6 см.

Площадь основания: \( S_{осн} = AB^2 = 6^2 = 36 \) см².

Боковая поверхность призмы состоит из четырёх прямоугольников со сторонами 6 см (сторона основания) и 8 см (высота призмы AA₁).

Площадь одного бокового прямоугольника: \( S_{бок.гран.1} = 6 \times 8 = 48 \) см².

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 4 \times S_{бок.гран.1} = 4 \times 48 = 192 \) см².

Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 192 + 2 \times 36 = 192 + 72 = 264 \) см².

Ответ: Угол между прямыми AA₁ и BC равен 90°. Площадь полной поверхности призмы равна 264 см².