1. ∠B = ∠C= 90°, ∠ADC=50°, ∠ADB = 40°. Докажите, что ΔABD = ΔDCA.

Решение:

Для доказательства равенства треугольников \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \), рассмотрим их.

1. Из условия задачи нам известно, что \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \).
2. Также дано \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \).
3. Заметим, что \( \angle CDB = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).
4. Рассмотрим \( \triangle ABD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle B - \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
5. Рассмотрим \( \triangle DCA \). \( \angle DCA = 90^{\circ} \). \( \angle DAC = \angle DAB = 50^{\circ} \). \( \angle ACD = 180^{\circ} - \angle DAC - \angle ADC = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 50^{\circ} = 80^{\circ} \).
6. В \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \) у нас есть: \( \angle B = \angle C = 90^{\circ} \) (прямые углы).
7. Сторона \( BD \) в \( \triangle ABD \) и сторона \( AC \) в \( \triangle DCA \) могут быть найдены с помощью тригонометрии, но нам нужно доказать равенство треугольников.
8. У нас есть \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \).
9. В \( \triangle ABD \), \( \angle BAD = 50^{\circ} \), \( \angle ADB = 40^{\circ} \), \( \angle B = 90^{\circ} \).
10. В \( \triangle DCA \), \( \angle DCA = 90^{\circ} \), \( \angle ADC = 50^{\circ} \), \( \angle DAC = 50^{\circ} \).
11. Мы видим, что \( \angle BAD = \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle B = \angle C = 90^{\circ} \).
12. Также сторона \( AD \) является общей для обоих треугольников.
13. Таким образом, \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \) равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам): сторона \( AD \) и прилежащие к ней углы \( \angle BAD \) и \( \angle ADB \) в \( \triangle ABD \) равны стороне \( DA \) и прилежащим к ней углам \( \angle ADC \) и \( \angle DAC \) в \( \triangle DCA \).
14. \( \angle BAD = 50^{\circ} \), \( \angle ADC = 50^{\circ} \) (дано).
15. \( \angle ADB = 40^{\circ} \).
16. \( \angle DAC = 50^{\circ} \) (найдено ранее).
17. \( \angle B = 90^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \) (дано).
18. Уточнение: \( \angle DAC \) не равно \( \angle BAD \) в общем случае. \( \angle BAD = 50^{\circ} \). \( \angle DAC \) нужно найти. \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \) в \( \triangle DCA \).
19. В \( \triangle ABD \) имеем: \( \angle BAD = 50^{\circ} \), \( \angle ADB = 40^{\circ} \), \( \angle B = 90^{\circ} \).
20. В \( \triangle DCA \) имеем: \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle ADC = 50^{\circ} \). Следовательно, \( \angle DAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).
21. Мы видим, что \( \angle ADB = \angle DAC = 40^{\circ} \).
22. Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \) еще раз.
23. У нас есть:
• \( \angle B = \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \angle ADB = 40^{\circ} \) (в \( \triangle ABD \))
• \( \angle DAC = 40^{\circ} \) (в \( \triangle DCA \))
• \( AD \) — общая сторона.
24. Поэтому \( \triangle ABD \) = \( \triangle DCA \) по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

Доказано.