Контрольные задания
Вопрос:

1. ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40°. Докажите, что ΔABD = ΔDCA.

Фото задания: 1. ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40°. Докажите, что ΔABD = ΔDCA.Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как \( \angle B = \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 0^{\circ} \), что невозможно. Следовательно, в условии задачи ошибка. Предположим, что \( \angle ABC = \angle ACB = 90^{\circ} \) некорректно.
  2. Исходя из рисунка, предположим, что \( \angle B = \angle C = 90^{\circ} \) относится к углам при вершине B и C в некотором контексте, но не треугольника ABC.
  3. Дано: \( \angle ADC = 50^{\circ} \), \( \angle ADB = 40^{\circ} \).
  4. Из этого следует, что \( \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).
  5. В треугольнике ABD: \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle B - \angle ADB \).
  6. В треугольнике DCA: \( \angle DAC = 180^{\circ} - \angle C - \angle ADC \).
  7. По условию \( \angle B = \angle C = 90^{\circ} \). Тогда в \( \triangle ABD \), \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
  8. В \( \triangle DCA \), \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).
  9. Сумма углов \( \angle BAD + \angle CAD = 50^{\circ} + 40^{\circ} = 90^{\circ} \). Это означает, что \( \angle BAC = 90^{\circ} \).
  10. Для доказательства равенства \( \triangle ABD = \triangle DCA \) нам нужны соответствующие равные стороны или углы.
  11. Из \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle CAD = 40^{\circ} \), а также \( \angle ADB = 40^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \).
  12. Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \).
  13. У нас есть \( \angle ADB = 40^{\circ} \) и \( \angle CAD = 40^{\circ} \).
  14. У нас есть \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \).
  15. Это означает, что \( \angle BAD = \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = \angle CAD = 40^{\circ} \).
  16. Если \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \), то \( \angle ABD = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 40^{\circ} = 90^{\circ} \).
  17. Если \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle CAD = 40^{\circ} \), то \( \angle ACD = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 40^{\circ} = 90^{\circ} \).
  18. Таким образом, \( \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \).
  19. У нас есть: \( \angle BAD = \angle ADC = 50^{\circ} \), \( \angle ADB = \angle CAD = 40^{\circ} \), \( \angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ} \).
  20. Сторона AD является общей для обоих треугольников.
  21. По второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол), \( \triangle ABD = \triangle DCA \).

Ответ: Доказано по второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне).