3. Параллельные прямые а и b пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С лежат на прямой а, а точки В и D — на прямой b. Докажите, что АС = BD.

Решение:

У нас есть две параллельные прямые \( a \) и \( b \).

Две параллельные секущие \( AB \) и \( CD \) пересекают прямые \( a \) и \( b \).

Точки \( A \) и \( C \) лежат на прямой \( a \).

Точки \( B \) и \( D \) лежат на прямой \( b \).

Это означает, что \( AC \) и \( BD \) являются отрезками, соединяющими параллельные прямые.

Рассмотрим четырехугольник \( ACDB \).

Так как \( AB \) и \( CD \) — секущие, и они параллельны, то \( ACDB \) является параллелограммом.

Для доказательства этого:

1. \( AB \) || \( CD \) (дано, секущие параллельны).
2. \( AC \) || \( BD \) (так как \( a \) || \( b \), и \( A, C \) на \( a \), \( B, D \) на \( b \)).

По определению, если обе пары противоположных сторон четырехугольника параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны.

Следовательно, \( AC = BD \).

Доказано.