1. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M, BM:MC=3:4. Найдите периметр параллелограмма, если BC=28 см.

По отношению частей стороны найдём BM: одна доля равна \(28:7=4\) см, поэтому \(BM=3\cdot4=12\) см и \(MC=4\cdot4=16\) см.

Так как \(AD\parallel BC\), угол между DM и AD равен углу между DM и BM. DM — биссектриса угла D, значит \(\angle CDM=\angle DMB\). Следовательно, в треугольнике DMB равны углы при D и M, поэтому \(DB=BM\). Вместе с тем из параллельности AD и BC и биссектрисы следует, что \(AB=BM\) (эквивалентно: \(\angle ADM=\angle DMA\), поэтому \(AM=AD\); а поскольку \(AD=BC=28\), это здесь не даёт требуемого равенства сторон). Проверим корректное следствие: поскольку \(DC\parallel AB\), \(\angle CDM=\angle DMB\), а из биссектрисы \(\angle CDM=\angle MDA\). Так как \(AD\parallel BM\), \(\angle MDA=\angle DMB\) тождественно; для получения длины используем треугольник DMC: \(\angle CDM=\angle MDA\), а \(\angle MDA=\angle DMB\) и \(MB\) — продолжение \(MC\), поэтому эти углы равны. Тогда \(DM\) является биссектрисой внешнего угла треугольника DMC и соответствующее равенство даёт \(DC=MC\). Значит, \(AB=DC=MC=16\) см.

Периметр параллелограмма: \(P=2(AB+BC)=2(16+28)=88\) см.

Ответ: 88 см.