1. Боковое ребро прямой треугольной призмы равно 12 см, её основание — прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Дано:

• Боковое ребро призмы: l = 12 см
• Катеты прямоугольного треугольника основания: a = 3 см, b = 4 см

Найти: Площадь полной поверхности призмы (S_полн)

Решение:

1. Найдем площадь основания (S_осн):
   Так как основание — прямоугольный треугольник, его площадь равна половине произведения катетов.
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b \]
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 6 \text{ см}^2 \]
2. Найдем периметр основания (P_осн):
   Сначала найдем гипотенузу c прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
   \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
   \[ c^2 = 3^2 + 4^2 \]
   \[ c^2 = 9 + 16 \]
   \[ c^2 = 25 \]
   \[ c = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]
   Теперь найдем периметр:
   \[ P_{осн} = a + b + c \]
   \[ P_{осн} = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 12 \text{ см} \]
3. Найдем площадь боковой поверхности (S_бок):
   Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро.
   \[ S_{бок} = P_{осн} \times l \]
   \[ S_{бок} = 12 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 144 \text{ см}^2 \]
4. Найдем площадь полной поверхности (S_полн):
   Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.
   \[ S_{полн} = 2 \times S_{осн} + S_{бок} \]
   \[ S_{полн} = 2 \times 6 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2 \]
   \[ S_{полн} = 12 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2 = 156 \text{ см}^2 \]

Ответ: 156 см².