3. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 18 см и 34 см, а боковое ребро — 17 см.

Дано:

• Правильная четырёхугольная усечённая пирамида
• Большее основание (сторона квадрата): a = 34 см
• Меньшее основание (сторона квадрата): b = 18 см
• Боковое ребро: l = 17 см

Найти: Площадь боковой поверхности (S_бок)

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды находится по формуле:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \times k \]

где P₁ и P₂ — периметры оснований, а k — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметры оснований:
   P₁ (большее основание) = 4 * a = 4 * 34 см = 136 см
   P₂ (меньшее основание) = 4 * b = 4 * 18 см = 72 см
2. Найдем апофему (k):
   Чтобы найти апофему, проведём из вершины меньшего основания на большее основание перпендикуляры. Получим прямоугольную трапецию, боковые стороны которой — боковое ребро (17 см) и апофема (k). Основания этой трапеции равны разности полупериметров оснований, точнее, разности сторон оснований, поделённой на 2.
   
   Разность сторон оснований: a - b = 34 см - 18 см = 16 см.
   Половина этой разности: (a - b) / 2 = 16 см / 2 = 8 см.
   
   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и разностью полусторон оснований (катет).
   \[ k^2 + \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 = l^2 \]
   \[ k^2 + 8^2 = 17^2 \]
   \[ k^2 + 64 = 289 \]
   \[ k^2 = 289 - 64 \]
   \[ k^2 = 225 \]
   \[ k = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]
3. Найдем площадь боковой поверхности:
   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \times k \]
   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} (136 \text{ см} + 72 \text{ см}) \times 15 \text{ см} \]
   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} (208 \text{ см}) \times 15 \text{ см} \]
   \[ S_{бок} = 104 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 1560 \text{ см}^2 \]

Ответ: 1560 см².