1. Частица движется в плоскости xy с ускорением $\vec a=-3\alpha\vec i$ ($\vec i$ — единичный вектор вдоль оси x, $\vec j$ — единичный вектор вдоль оси y; $\alpha=\mathrm{const}$). В начальный момент частица находилась в точке x=y=0, а начальная скорость $\vec v(0)=2\beta\vec j$ ($\vec j$ — единичный вектор вдоль оси y). Найти зависимость радиус-вектора частицы и скорости от времени, уравнение траектории, радиус кривизны траектории, нормальное и тангенциальное ускорение, а также угол между векторами скорости и ускорения.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Частица движется в плоскости xy с ускорением $\vec a=-3\alpha\vec i$ ($\vec i$ — единичный вектор вдоль оси x,…$ Фото задания

1. Частица движется в плоскости xy с ускорением $\vec a=-3\alpha\vec i$ ($\vec i$ — единичный вектор вдоль оси x, $\vec j$ — единичный вектор вдоль оси y; $\alpha=\mathrm{const}$). В начальный момент частица находилась в точке x=y=0, а начальная скорость $\vec v(0)=2\beta\vec j$ ($\vec j$ — единичный вектор вдоль оси y). Найти зависимость радиус-вектора частицы и скорости от времени, уравнение траектории, радиус кривизны траектории, нормальное и тангенциальное ускорение, а также угол между векторами скорости и ускорения.

Accepted Answer

Считаем, что $\alpha>0$, $\beta>0$, $t\ge 0$.

Интегрируем ускорение и учитываем начальную скорость: $v_x=-3\alpha t$, $v_y=2\beta$. Поэтому $\vec v(t)=-3\alpha t\vec i+2\beta\vec j$.
Интегрируем скорость, используя начальное положение $\vec r(0)=0$: $x=-\frac{3}{2}\alpha t^2$, $y=2\beta t$. Значит, $\vec r(t)=-\frac{3}{2}\alpha t^2\vec i+2\beta t\vec j$.
Исключаем время: $t=y/(2\beta)$, поэтому уравнение траектории $x=-\frac{3\alpha}{8\beta^2}y^2$.
Скорость по модулю: $v=\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}$. Тангенциальное ускорение — проекция ускорения на направление скорости: $a_\tau=(\vec v\cdot\vec a)/v=\frac{9\alpha^2t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}$.
Модуль векторного произведения скорости и ускорения равен $6\alpha\beta$. Следовательно, нормальное ускорение $a_n=\frac{|\vec v\times\vec a|}{v}=\frac{6\alpha\beta}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}$, а радиус кривизны $\rho=\frac{v^2}{a_n}=\frac{(9\alpha^2t^2+4\beta^2)^{3/2}}{6\alpha\beta}$.
Для угла $\varphi$ между скоростью и ускорением используем скалярное произведение: $\cos\varphi=\frac{\vec v\cdot\vec a}{v|\vec a|}=\frac{3\alpha t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}$. Поэтому $\varphi=\arccos\!\left(\frac{3\alpha t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}\right)$.

Ответ: $\vec r(t)=-\frac{3}{2}\alpha t^2\vec i+2\beta t\vec j$, $\vec v(t)=-3\alpha t\vec i+2\beta\vec j$, $x=-\frac{3\alpha}{8\beta^2}y^2$, $\rho=\frac{(9\alpha^2t^2+4\beta^2)^{3/2}}{6\alpha\beta}$, $a_n=\frac{6\alpha\beta}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}$, $a_\tau=\frac{9\alpha^2t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}$, $\varphi=\arccos\!\left(\frac{3\alpha t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}\right)$.