1. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. BC ∉ α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, параллельна плоскости α.

Обозначим середины сторон AB и CD через M и N соответственно.

1. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны: AD ∥ BC.

2. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон трапеции, поэтому MN — её средняя линия и MN ∥ AD.

3. Прямая AD лежит в плоскости α, а MN параллельна AD. Кроме того, MN не лежит в α: MN находится в плоскости трапеции, пересечение этой плоскости с α — прямая AD, а MN ∥ AD и MN ≠ AD. Значит, MN не пересекает α.

Ответ: MN ∥ α.