№1. Через основание АД трапеции АВСД проведена плоскость α. ВС не принадлежит α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и СД, параллельна плоскости α.

Обозначим середины сторон АВ и СД точками M и N.

1. В плоскости трапеции отрезок MN соединяет середины её боковых сторон, поэтому по свойству средней линии трапеции MN параллелен основаниям: MN ∥ АД и MN ∥ ВС.

2. Плоскость трапеции и плоскость α различны: вторая содержит прямую АД, но не содержит ВС.

3. Эти плоскости пересекаются по прямой АД. Прямая MN лежит в плоскости трапеции и параллельна АД, поэтому не пересекает АД. Следовательно, MN не имеет общих точек с плоскостью α и параллельна ей.

Ответ: прямая, проходящая через середины АВ и СД, параллельна плоскости α.