1. Через середину диагонали AC параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD, а также продолжения сторон CD и AB соответственно в точках F и E (F ∈ CD, E ∈ AB). Докажите, что EAFC — параллелограмм.

Обозначим через O точку пересечения проведённой прямой с диагональю AC. По условию O — середина AC. Точки E, O и F лежат на одной прямой.

В четырёхугольнике EAFC диагонали — AC и EF. Поскольку AB ∥ CD, а E ∈ AB и F ∈ CD, получаем EA ∥ FC. Кроме того, диагонали AC и EF пересекаются в O, причём O — середина AC. Из параллельности EA и FC треугольники EAO и FCO подобны; так как AO = CO, из подобия следует EO = FO. Значит, диагонали EAFC делятся точкой пересечения пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ: EAFC — параллелограмм.