1. Через середину E гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр EM, равный 4√5 см. AB = BC = 16 см, ∠C = 90°. Вычислите: а) расстояние от точки M до прямой AC; б) площади треугольника ACM и его проекции на плоскость данного треугольника; в) расстояние между прямыми EM и BC.

Для решения этой задачи нам понадобится знание геометрии, в частности, свойства прямоугольных треугольников и теорема Пифагора. **а) Расстояние от точки M до прямой AC** 1. **Найдем AC:** Так как треугольник ABC прямоугольный и AB = BC = 16, то $$AC = sqrt{AB^2 + BC^2} = sqrt{16^2 + 16^2} = sqrt{2 cdot 16^2} = 16sqrt{2}$$. 2. **Найдем AE и EC:** Так как E - середина AB, то AE = AB/2 = 16/2 = 8. Поскольку ABC равнобедренный прямоугольный треугольник, то CE - медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Тогда CE = AE = 8 3. **Рассмотрим треугольник EMC**: EM перпендикулярен плоскости ABC, поэтому он перпендикулярен AC. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник EMC с катетами EM=4√5 и EC=8. По теореме Пифагора MC = $$sqrt{EM^2 + EC^2} = sqrt{(4sqrt{5})^2 + 8^2} = sqrt{16cdot5 + 64} = sqrt{80+64}=sqrt{144} = 12$$. 4. **Найдем расстояние от M до AC**. Так как EM перпендикулярно плоскости ABC, то он перпендикулярен любой прямой лежащей в плоскости ABC. Соответственно, EM перпендикулярно AC, значит, расстояние от M до AC будет равно перпендикуляру, опущенному из М на AC, это будет высота прямоугольного треугольника EMC. Для этого найдем площадь треугольника EMC как 1/2*EM*EC = 1/2 * 4√5*8 = 16√5. С другой стороны площадь треугольника EMC это 1/2*MC*h, где h высота опущенная из E на MC, отсюда 16√5 = 1/2*12*h или h = (32√5)/12= (8√5)/3. Так как треугольник EMC прямоугольный, то расстояние от точки М до прямой AC, есть длинна высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла к гипотенузе и равна $$\frac{EM * EC}{MC} = \frac{4\sqrt{5}*8}{12} = \frac{32\sqrt{5}}{12}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$$. **б) Площади треугольника ACM и его проекции** 1. **Площадь треугольника ABC:** Так как ABC - прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами 16, то площадь равна $$S_{ABC} = \frac{1}{2} * AB * BC = \frac{1}{2}*16*16=128$$. 2. **Площадь треугольника AEC:** Так как E - середина AB, то высота треугольника AEC к основанию AC равна половине высоты треугольника ABC к AC. $$S_{AEC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = 128/2 = 64$$. 3. **Площадь треугольника ACM:** Так как EM перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, то $$S_{AMC} = \frac{1}{2}*AC*EM = \frac{1}{2} * 16\sqrt{2}* \frac{8\sqrt{5}}{3}= \frac{64\sqrt{10}}{3}$$. 4. **Проекция треугольника ACM на плоскость ABC:** Проекцией треугольника ACM является треугольник AEC. Следовательно, $$S_{проекции} = S_{AEC} = 64$$. **в) Расстояние между прямыми EM и BC** 1. **Рассмотрим ситуацию:** EM перпендикулярна плоскости ABC, а BC лежит в этой плоскости. Поэтому EM перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC, включая BC. Значит, EM и BC являются скрещивающимися прямыми. 2. **Найдем расстояние.** Поскольку плоскость AB перпендикулярна к EM, то перпендикуляр из прямой EM на прямую BC будет высотой из точки E на BC. Высотой из E на BC это будет перпендикуляр проведенный из точки E к прямой BC. В данном случае прямая, проходящая через точку Е перпендикулярно к ВС, является высотой прямоугольного треугольника из вершины прямого угла к гипотенузе. Расстояние от E до BC равно 1/2 * AC (свойство медианы, проведенной из вершины прямого угла) = 8. **Ответ:** а) Расстояние от точки M до прямой AC равно $$\frac{8\sqrt{5}}{3}$$ см. б) Площадь треугольника ACM равна $$\frac{64\sqrt{10}}{3}$$ кв. см, а его проекции на плоскость треугольника ABC равна 64 кв. см. в) Расстояние между прямыми EM и BC равно 8 см.