2. Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, основание которого квадрат. AC = 6√2 см, $$AB_1$$ = 4√3 см. Вычислите градусную меру двугранного угла $$B_1ADB$$.

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного параллелепипеда и теоремой Пифагора, а также тригонометрическими функциями для нахождения угла. **1. Найдем сторону основания:** Основание параллелепипеда - квадрат, диагональ которого AC = 6√2 см. Если сторона квадрата равна a, то по теореме Пифагора $$a^2 + a^2 = (6\sqrt{2})^2$$, откуда $$2a^2 = 72$$, $$a^2 = 36$$, $$a = 6$$. Следовательно, $$AB = AD = 6$$ см. **2. Найдем высоту параллелепипеда:** Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AB_1B$$. В нем $$AB = 6$$, а $$AB_1 = 4\sqrt{3}$$. По теореме Пифагора найдем $$BB_1$$: $$(BB_1)^2 + (AB)^2 = (AB_1)^2$$, следовательно, $$(BB_1)^2 + 6^2 = (4\sqrt{3})^2$$, $$(BB_1)^2 + 36 = 48$$, $$(BB_1)^2 = 12$$, $$BB_1 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$. **3. Рассмотрим треугольник ABD:** Так как ABCD квадрат, то треугольник ABD равнобедренный прямоугольный, AD=AB=6, диагональ $$BD=6\sqrt{2}$$. **4. Рассмотрим треугольник B1BD**: Так как $$BB_1$$ перпендикулярна основанию, то угол $$B_1BD$$ прямой, то есть треугольник $$B_1BD$$ прямоугольный. $$BD=6\sqrt{2}$$ и $$BB_1=2\sqrt{3}$$. Тогда $$B_1D = \sqrt{BD^2 + BB_1^2} = \sqrt{72 + 12} = \sqrt{84}=2\sqrt{21}$$ **5. Найдем угол $$B_1DB$$** Тангенс угла $$B_1DB = \frac{BB_1}{BD} = \frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ **6. Найдем проекцию B1 на плоскость ABD** Проекцией $$B_1$$ на плоскость $$ABD$$ будет точка $$B$$, то есть проекция $$B_1D$$ на плоскость $$ABD$$ есть $$BD$$. Угол между $$B_1D$$ и проекцией $$BD$$ есть угол $$B_1DB$$. Пусть он равен $$\alpha$$. 7. **Найдем угол плоскости B1AD к плоскости BAD** Для этого выберем на ребре AD точку E (точнее E это точка D), проведем перпендикуляр к AD в плоскости BAD, то есть это будет отрезок BD. Также проведем перпендикуляр к ребру AD в плоскости $$B_1AD$$ это будет отрезок $$B_1D$$. Тогда искомый угол будет угол $$B_1DB$$. 8. **Вычислим угол** Из прямоугольного треугольника $$B_1BD$$ имеем $$\tan(B_1DB) = \frac{BB_1}{BD} = \frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$. Тогда угол $$B_1DB = arctan(\frac{\sqrt{6}}{6})$$ Так как ребро AD перпендикулярно плоскости $$BDB_1$$, то угол между плоскостями $$B_1AD$$ и $$BAD$$ будет равен углу $$B_1DB$$, то есть $$arctan(\frac{\sqrt{6}}{6}) \approx 22.2^circ$$ **Ответ:** Градусная мера двугранного угла $$B_1ADB$$ равна arctan($$\frac{\sqrt{6}}{6}$$) или приблизительно 22.2 градуса.