1. Через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость α. B ∉ α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон AB и BC, параллельна плоскости α.

Обозначим середины сторон AB и BC через M и N соответственно.

1. По теореме о средней линии треугольника ABC имеем MN ∥ AC.

2. Плоскости ABC и α различны и пересекаются по прямой AC: точки A и C принадлежат обеим плоскостям, а B ∉ α.

3. Прямая MN не пересекает AC, поскольку MN ∥ AC и MN ≠ AC. Если бы MN пересекала α, точка пересечения принадлежала бы линии пересечения плоскостей ABC и α, то есть AC. Это противоречит пункту 3.

Следовательно, MN не пересекает плоскость α и параллельна ей.

Что и требовалось доказать.