1. Через точку A окружности проведены диаметр AC и две хорды AB и AD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг AB, BC, CD, AD.

Так как хорда AB равна радиусу окружности, треугольник AOB равносторонний, поэтому центральный угол AOB равен 60°. Аналогично, центральный угол AOD равен 60°.

AC — диаметр, поэтому дуги ABC и ADC имеют по 180°.

1. Дуга AB = 60°.
2. Дуга BC = 180° − 60° = 120°.
3. Дуга CD = 180° − 60° = 120°.
4. Дуга AD = 60°.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

• ∠A = ½ дуги BCD = ½ · 240° = 120°;
• ∠B = ½ дуги ADC = ½ · 180° = 90°;
• ∠C = ½ дуги DAB = ½ · 120° = 60°;
• ∠D = ½ дуги ABC = ½ · 180° = 90°.

Ответ: ∠A = 120°, ∠B = 90°, ∠C = 60°, ∠D = 90°; дуги AB = 60°, BC = 120°, CD = 120°, AD = 60°.