1. Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что прямые AD₁ и BM, где M — середина ребра CD, скрещиваются.

Зададим координаты вершин куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), D₁(0; 1; 1). Тогда середина ребра CD имеет координаты M(0.5; 1; 0).

Направляющий вектор прямой AD₁: \((0;1;1)\). Направляющий вектор прямой BM: \((-0.5;1;0)\). Эти векторы не пропорциональны, поэтому прямые не параллельны.

Параметрические уравнения прямых: AD₁: \((x;y;z)=(0;t;t)\); BM: \((x;y;z)=(1-0.5s;s;0)\). Если бы прямые пересекались, из координаты \(z\) следовало бы \(t=0\), а из координаты \(y\) — \(s=0\). Тогда координата \(x\) на первой прямой равна 0, а на второй — 1, что невозможно. Следовательно, прямые не пересекаются.

Они не параллельны и не пересекаются, значит, являются скрещивающимися.

Ответ: AD₁ и BM скрещиваются.