2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, на ребре B₁C₁ взята точка M так, что B₁M : MС₁ = 1 : 3. Найдите угол между прямыми A₁M и DB₁.

Пусть ребро куба равно 1. Выберем координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), B₁(1; 0; 1), C₁(1; 1; 1), D₁(0; 1; 1).

Из отношения B₁M : MС₁ = 1 : 3 получаем, что M находится на четверти ребра B₁C₁ от B₁: M(1; 0.25; 1).

Направляющие векторы прямых можно взять такими: \(\vec{A₁M}=(1;0.25;0)\), \(\vec{DB₁}=(1;-1;1)\).

Для угла между прямыми используем модуль косинуса угла между направляющими векторами:

\(\cos\varphi=\frac{|\vec{A₁M}\cdot\vec{DB₁}|}{|\vec{A₁M}|\,|\vec{DB₁}|}=\frac{|1-0.25|}{\sqrt{1+0.25^2}\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{51}}.\)

Следовательно, \(\varphi=\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{51}}\right)\approx65.2^\circ\).

Ответ: \(\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{51}}\right)\approx65.2^\circ\).