1. Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми AC и D₁B₁.

Введём координаты вершин единичного куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), B₁(1; 0; 1), C₁(1; 1; 1), D₁(0; 1; 1).

Направляющие векторы прямых AC и D₁B₁: \(\overrightarrow{AC}=(1;1;0)\), \(\overrightarrow{D_1B_1}=(1;-1;0)\).

Их скалярное произведение равно \(1\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot0=0\). Значит, прямые перпендикулярны.

Ответ: \(90^\circ\).