1. Дан куб ABCD A₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AA₁, точка L — ребру DD₁. При этом A₁K:KA = 1:3, D₁L:LD = 2:1. Проведена прямая KL. Используя рисунок, ответьте на вопросы: а) Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости ABD. б) Найдите точку пересечения прямых KL и A₁D₁. в) Укажите линию пересечения плоскостей A₁AD и B₁EF. г) Найдите длину отрезка C₁L. д) Вычислите длину отрезка KL. е) Найдите длину отрезка EF.

Введём координаты: A(0; 0; 0), D(a; 0; 0), B(0; a; 0), а вертикальная ось направлена вдоль AA₁. Тогда плоскость ABD задаётся уравнением z = 0.

Из отношения A₁K:KA = 1:3 следует, что AK = 3a/4. Из D₁L:LD = 2:1 следует, что DL = a/3. Поэтому K = (0; 0; 3a/4), L = (a; 0; a/3).

а) Параметрическое уравнение KL: (x; y; z) = (0; 0; 3a/4) + t(a; 0; −5a/12). При z = 0 получаем t = 9/5. Прямая KL пересекает плоскость ABD в точке P = (9a/5; 0; 0).

б) На прямой A₁D₁ z = a. На KL это значение достигается при t = −3/5, поэтому точка пересечения Q имеет координаты (−3a/5; 0; a). Это точка на продолжении отрезка A₁D₁ за A₁.

в) Точки E и F принадлежат плоскости A₁AD и плоскости B₁EF. Их общая прямая — EF.

г) Разности координат C₁(a; a; a) и L(a; 0; a/3) равны 0, a и 2a/3. Поэтому C₁L = √(a² + (2a/3)²) = a√13/3.

д) Разности координат K и L по двум изменяющимся направлениям равны a и 5a/12. Поэтому KL = √(a² + (5a/12)²) = 13a/12.

е) По рисунку E, K, L и F лежат на одной прямой. На KL параметру t соответствуют значения t = −3/5 в точке E и t = 9/5 в точке F. Значит, EF = (9/5 − (−3/5))KL = (12/5) · (13a/12) = 13a/5.

Ответ: а) P; б) Q; в) EF; г) a√13/3; д) 13a/12; е) 13a/5.