1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите вектор с началом и концом в вершинах куба, который вместе с двумя данными векторами составлял бы тройку компланарных векторов: а) \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\); б) \(\overrightarrow{BC_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Три вектора компланарны, если их можно расположить в одной плоскости.

1. Плоскость, содержащая \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\), — грань куба \(CDD_1C_1\). Поэтому подходит, например, \(\overrightarrow{DD_1}\): он лежит в той же грани.
2. Векторы \(\overrightarrow{BC_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\) вместе с \(\overrightarrow{BC}\) компланарны. Действительно, в координатах куба можно взять \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(1,1,0)\), \(C_1=(1,1,1)\). Тогда \(\overrightarrow{BC_1}=(0,1,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\), а \(\overrightarrow{BC}=(0,1,0)=\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{AC}\). Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости.

Ответ: а) \(\overrightarrow{DD_1}\); б) \(\overrightarrow{BC}\).