3. В тетраэдре DABC точки M и N — середины рёбер DA и DC соответственно. Разложите: а) вектор \(\overrightarrow{NA}\) по векторам \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BC}\); б) вектор \(\overrightarrow{BC}\) по векторам \(\overrightarrow{DM}\), \(\overrightarrow{DN}\) и \(\overrightarrow{DB}\).

а) Проведём путь из N в A через D и B:

\(\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}\).

Так как N — середина DC, \(\overrightarrow{ND}=-\frac12\overrightarrow{DC}\). Кроме того, \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\), поэтому \(\overrightarrow{ND}=-\frac12\overrightarrow{DB}-\frac12\overrightarrow{BC}\). А \(\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}\). Подставляя, получаем:

\(\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{BA}-\frac12\overrightarrow{BD}-\frac12\overrightarrow{BC}\).

б) Поскольку M и N — середины соответствующих рёбер, \(\overrightarrow{DM}=\frac12\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{DN}=\frac12\overrightarrow{DC}\). При этом \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DB}\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{BA}-\frac12\overrightarrow{BD}-\frac12\overrightarrow{BC}\); б) \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{DB}\).