1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AB, точка L — ребру CD. При этом AK:KB = 1:3, CL:LD = 1:4. Проведена прямая KL. Используя рисунок, ответьте на вопросы: а) Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости A₁D₁D. б) Найдите точку пересечения прямых KL и BC. в) Укажите линию пересечения плоскостей ABC и B₁EF. г) Найдите длину отрезка B₁K. д) Вычислите длину отрезка KL. е) Найдите длину отрезка EF.

Введём координаты в основании куба: пусть A(0,0), B(0,a), C(a,a), D(a,0).

1. а) Продолжение прямой KL пересекает плоскость A₁D₁D в точке E.
2. б) Продолжение прямой KL пересекает прямую BC в точке F.
3. в) Плоскости ABC и B₁EF имеют общую прямую EF. Следовательно, линия их пересечения — EF.
4. г) Так как AK:KB=1:3, то AK=a/4. В прямоугольном треугольнике B₁BK: BB₁=a, BK=3a/4. Поэтому
   \[B_1K=\sqrt{BB_1^2+BK^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\frac{5a}{4}.\]
5. д) Из CL:LD=1:4 получаем CL=a/5 и координату точки L по направлению AB: \(4a/5\). Поэтому разность соответствующих координат точек K и L равна \(4a/5-a/4=11a/20\). Тогда
   \[KL=\sqrt{a^2+\left(\frac{11a}{20}\right)^2}=\frac{a\sqrt{521}}{20}.\]
6. е) Прямая KL пересекает линии AD и BC в точках E и F. По подобию или координатному вычислению: \(AE=5a/11\), \(CF=4a/11\). Поэтому
   \[EF=AE+AD+CF=\frac{5a}{11}+a+\frac{4a}{11}=\frac{20a}{11}.\]

Ответ: а) E; б) F; в) EF; г) \(B_1K=5a/4\); д) \(KL=a\sqrt{521}/20\); е) \(EF=20a/11\).