1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре BB₁, точка N лежит на ребре CC₁, точка K лежит на ребре DD₁. а) Назовите плоскости, в которых лежат точки M и N. б) Найдите точку F — точку пересечения прямых MN и CB. Каким свойством обладает точка F? в) Найдите точку пересечения прямой KN и плоскости ABC. г) Найдите точку пересечения плоскостей (ABC) и (MNK).

а) Ребро BB₁ принадлежит грани ABB₁A₁, а ребро CC₁ — грани BCC₁B₁. Поэтому M лежит в плоскостях (ABB₁) и (BCC₁), а N — в плоскостях (BCC₁) и (DCC₁). Обе точки M и N принадлежат плоскости (BCC₁).

б) Прямые MN и CB лежат в одной плоскости (BCC₁) и пересекаются в точке F. Точки F и M принадлежат плоскости (ABB₁): M — на BB₁, F — на CB. Следовательно, прямая MF является линией пересечения плоскостей (ABB₁) и (BCC₁), то есть параллельна BB₁. Поэтому MF ∥ BB₁.

в) Прямая KN лежит в плоскости (DCC₁), как и прямая DC — линия пересечения плоскостей (DCC₁) и (ABC). Значит, искомая точка — P = KN ∩ DC.

г) Точки N и P принадлежат плоскости (MNK): N — исходная точка, а P лежит на KN. Они также принадлежат плоскости (ABC), поскольку N? Нет: N лежит на CC₁, а не в (ABC). Пересечение плоскостей (ABC) и (MNK) проходит через точку P и точку Q = MK ∩ (ABC). Поскольку M и K лежат на вертикальных рёбрах BB₁ и DD₁, прямая MK лежит в плоскости (MNK); её пересечение с плоскостью основания обозначим Q. Тогда искомая прямая — PQ.

Примечание: если MK ∥ плоскости (ABC), то конечной точки Q нет и плоскости параллельны; положение M и K на рёбрах не задано, поэтому возможны разные случаи. В общем случае линия пересечения задаётся как прямая через P и Q, где Q = MK ∩ (ABC), если это пересечение существует.