2. Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. Вычислите площадь этого четырёхугольника, если AC ⟂ BD, AC = 10 см, BD = 12 см.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пересекающиеся прямые определяют плоскость. Так как A и C лежат на AC, а B и D — на BD, все вершины четырёхугольника принадлежат этой плоскости.

При перпендикулярных диагоналях площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей:

\(S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\text{ см}^2\).

Ответ: вершины ABCD компланарны; площадь равна 60 см².