1. Дано: а ⊥ (АВС), ∆ АВС – прямоугольный, ∠C= 90°. Доказать: ∆ МСВ - прямоугольный.

Задание 1. Доказательство

Дано:

• Прямая а перпендикулярна плоскости треугольника АВС (а ⊥ (АВС)).
• Треугольник АВС — прямоугольный.
• Угол С = 90°.

Доказать: Треугольник МСВ — прямоугольный.

Доказательство:

1. Так как прямая а перпендикулярна плоскости (АВС), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.
2. Пусть прямая а пересекает плоскость (АВС) в точке С. Так как а ⊥ (АВС), то а ⊥ ВС и а ⊥ АС.
3. Из условия задачи известно, что треугольник АВС — прямоугольный с углом С = 90°. Это означает, что катеты АС и ВС перпендикулярны друг другу (АС ⊥ ВС).
4. Рассмотрим прямую МС. Она лежит в плоскости (АВС).
5. По условию, а ⊥ (АВС). Точка М лежит на прямой а.
6. Следовательно, прямая а (а значит, и отрезок МС, так как он лежит на прямой а) перпендикулярна прямой ВС.
7. Таким образом, мы имеем две прямые — МС и ВС — пересекающиеся в точке С и обе перпендикулярные к прямой а.
8. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если две пересекающиеся прямые в плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то эта прямая перпендикулярна плоскости.
9. Однако, нам нужно доказать, что треугольник МСВ прямоугольный.
10. Вернемся к первому пункту. Так как а ⊥ (АВС), то а перпендикулярна любой прямой в плоскости (АВС), проходящей через точку пересечения. Если точка М лежит на прямой а, а точка С — точка пересечения прямой а с плоскостью (АВС), то прямая а перпендикулярна прямой ВС.
11. Следовательно, отрезок МС перпендикулярен отрезку ВС.
12. Это означает, что угол МСВ равен 90°.
13. По определению, треугольник, имеющий прямой угол, является прямоугольным.
14. Значит, треугольник МСВ — прямоугольный.

Что и требовалось доказать.