1. Дано: ABCD - параллелограмм, a ⊥ (ABC), MA ⊥ AD. Доказать: ABCD - прямоугольник.

Решение:

• 1. По условию, a ⊥ (ABC). Это значит, что прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC).
• 2. Так как ABCD — параллелограмм, то AD параллельна BC, и AB параллельна CD.
• 3. Прямая MA перпендикулярна AD.
• 4. Из условия a ⊥ (ABC) следует, что a перпендикулярна AB и a перпендикулярна AD.
• 5. Если MA ⊥ AD и a (как прямая, содержащая MA) перпендикулярна AD, то MA и a лежат в одной плоскости, перпендикулярной AD.
• 6. Рассмотрим плоскость, проходящую через MA и AB. Так как a ⊥ (ABC), то MA ⊥ AB.
• 7. У нас есть две прямые MA и AD, перпендикулярные друг другу и пересекающиеся в точке A.
• 8. В параллелограмме ABCD, если угол A (∠DAB) равен 90°, то параллелограмм является прямоугольником.
• 9. Поскольку MA является высотой, а AD — стороной основания, и MA ⊥ AD, а также a ⊥ AB (что означает, что боковое ребро перпендикулярно основанию), и a ⊥ AD, то мы можем заключить, что угол DAB равен 90°.
• 10. Следовательно, параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Доказано.