3. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания AB = 10 см, высота PH = 5√6 см. Найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости её основания; площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро.

Решение:

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида PABCD.

Сторона основания \( AB = 10 \) см.

Высота \( PH = 5\sqrt{6} \) см.

Найти:

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания - ?

Площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро - ?

Решение:

1. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания:
   В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат. Центр квадрата \( H \) является точкой пересечения диагоналей. \( AC = BD = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \) см.
   \( AH = HC = BH = HD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) см.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle PHA \) (так как \( PH \) — высота). Угол наклона бокового ребра \( PA \) к плоскости основания — это угол \( \angle PAH \).
   \( \tan(\angle PAH) = \frac{PH}{AH} = \frac{5\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} \).
   Следовательно, \( \angle PAH = 60^{\circ} \).
2. Площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро:
   Такое сечение — это прямоугольный треугольник \( \triangle PHA \).
   Площадь этого треугольника:
   \( S_{\triangle PHA} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot PH = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sqrt{12} = \frac{25}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \) см².

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°. Площадь сечения равна 25√3 см².