1. Дано: AECF — параллелограмм; точки B и D лежат соответственно на EC и AF, причём EB = DF. Доказать, что ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме AECF противоположные стороны равны и параллельны: AE = CF, EC = AF, AE ∥ CF и EC ∥ AF.

Рассмотрим треугольники AEB и CFD. Имеем AE = CF, EB = DF, а углы AEB и CFD равны, поскольку образованы соответственно параллельными прямыми AE и CF, EC и AF. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда ∠EAB = ∠FCD, поэтому AB ∥ CD.

Кроме того, BC = EC − EB, а AD = AF − DF. Так как EC = AF и EB = DF, то BC = AD. При этом BC ∥ AD, поскольку BC лежит на EC, а AD — на AF.

У четырёхугольника ABCD одна пара противоположных сторон параллельна и равна: BC ∥ AD и BC = AD. Значит, ABCD — параллелограмм.