1. Дано: ∠AKC = 230°, O - центр окружности. Найти: AB, ∠α, ∠β.

Решение:

1. Центральный угол ∠AOC равен 230°. Развёрнутый угол равен 360°. Дуга, соответствующая центральному углу ∠AOC, равна 230°. Оставшаяся дуга AC (меньшая) равна 360° - 230° = 130°.

2. Центральный угол ∠AOC, опирающийся на дугу AC (меньшую), равен 130°.

3. В равнобедренном треугольнике AOC (OA = OC = радиус) углы при основании равны: \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 130°}{2} = \frac{50°}{2} = 25° \).

4. Угол ∠ACB — вписанный, он опирается на дугу AB. Дуга AB = 360° - 230° = 130°.

5. Вписанный угол ∠ACB равен половине дуги, на которую он опирается: \( \angle ACB = \frac{130°}{2} = 65° \). Это угол \( \beta \).

6. Угол ∠ABC — вписанный, он опирается на дугу AC (большую), которая равна 230°.

7. \( \angle ABC = \frac{230°}{2} = 115° \). Это угол \( \alpha \).

8. AB — хорда. По теореме синусов в \( \triangle AOC \): \( \frac{AB}{\sin(\angle AOC)} = 2R \).

9. \( AB = 2R \cdot \sin(130°) \). Так как \( \sin(130°) = \sin(180° - 50°) = \sin(50°) \), то \( AB = 2R \cdot \sin(50°) \).

Ответ: \( \angle \alpha = 115° \), \( \angle \beta = 65° \). Длина хорды AB зависит от радиуса окружности: \( AB = 2R \cdot \sin(50°) \).