5*. AB - общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 и 36 см, A и B - точки касания. Найдите длину отрезка AB.

Решение:

1. Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей с радиусами \( r_1 = 25 \) см и \( r_2 = 36 \) см соответственно. Точки касания — A и B.

2. Отрезок \( O_1A \) перпендикулярен касательной AB, и \( O_2B \) также перпендикулярен касательной AB.

3. Проведём через центр меньшей окружности \( O_1 \) прямую, параллельную касательной AB. Эта прямая пересечёт радиус \( O_2B \) в точке C.

4. Получится прямоугольная трапеция \( O_1ABO_2 \). Отрезок \( O_1C \) будет равен AB, а отрезок \( O_2C \) будет равен \( |r_2 - r_1| \).

5. \( O_1C = AB \).

6. \( O_2C = |36 - 25| = 11 \) см.

7. Расстояние между центрами окружностей \( O_1O_2 \) равно сумме их радиусов, так как окружности касаются внешним образом: \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 25 + 36 = 61 \) см.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( O_1CO_2 \). По теореме Пифагора:

\( O_1C^2 + O_2C^2 = O_1O_2^2 \).

9. \( AB^2 + 11^2 = 61^2 \).

10. \( AB^2 + 121 = 3721 \).

11. \( AB^2 = 3721 - 121 \).

12. \( AB^2 = 3600 \).

13. \( AB = \sqrt{3600} \).

14. \( AB = 60 \) см.

Ответ: Длина отрезка AB равна 60 см.