1. Дано: ∠AMC = 120°, ∠BC = 20°, O — центр окружности. Найти: ∠AB, ∠CA, ∠CB.

Решение:

По условию, O — центр окружности, следовательно, OA, OB, OC — радиусы. Треугольники AOB, BOC, COA — равнобедренные.

1. В треугольнике AOM, ∠AMO = 120°, ∠AOM = 90° (радиус, проведенный в точку касания).

2. В треугольнике BOC, ∠OBC = ∠OCB = 20°. Тогда ∠BOC = 180° - (20° + 20°) = 180° - 40° = 140°.

3. В треугольнике AOB, ∠OAB = ∠OBA. Так как ∠BOC = 140°, то ∠AOC = 360° - 140° - ∠AOB. Или, если считать, что точка M находится на дуге AC, то ∠AOC = 180° - ∠ABC.

В треугольнике COB: ∠OCB = ∠OBC = 20°. ∠BOC = 180° - (20° + 20°) = 140°.

В треугольнике AOB: ∠OAB = ∠OBA.

Угол ∠AOC = 180° (развернутый угол). ∠AOM = 90°, ∠COM = 90° (радиус, проведенный в точку касания).

Рассмотрим центральные углы:

∠BOC = 2 * ∠BAC

∠AOC = 2 * ∠ABC

∠AOB = 2 * ∠ACB

По условию ∠AMC = 120°. Это центральный угол, опирающийся на дугу AC. Тогда дуга AC = 120°.

∠ABC = 1/2 * дуги AC = 1/2 * 120° = 60°.

∠BC = 20°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Тогда дуга AB = 2 * 20° = 40°.

∠AOB = 40°.

∠CAB = 1/2 * дуги BC. Дуга BC = 360° - 120° - 40° = 200°.

∠CAB = 1/2 * 200° = 100°.

Проверка: 60° + 40° + 100° = 200°. Не сходится.

Давайте предположим, что ∠AMC — центральный угол, а ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AC.

∠ABC = 1/2 * ∠AMC = 1/2 * 120° = 60°.

∠BC — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ∠BC = 20°. Значит, дуга AB = 2 * 20° = 40°.

Центральный угол ∠AOB = дуге AB = 40°.

Так как OA = OB (радиусы), то треугольник AOB равнобедренный. ∠OAB = ∠OBA = (180° - 40°)/2 = 140°/2 = 70°.

∠CAB = 1/2 * дугу BC. Дуга BC = 360° - дуга AC - дуга AB = 360° - 120° - 40° = 200°.

∠CAB = 1/2 * 200° = 100°.

Сумма углов в треугольнике ABC: ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 60° + 20° + 100° = 180°.

Итак, ∠AB = 70°, ∠CA = 100°, ∠CB = 20°.

Ответ: ∠ABC = 70°, ∠CAB = 100°, ∠BCA = 20°.