4. На рисунке AK = 6 см, KB = 3 см, DK больше КС на 7 см. Найдите длину хорды CD.

Решение:

На рисунке изображена окружность с хордами AB и CD, пересекающимися в точке K.

По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

AK * KB = CK * KD.

По условию:

AK = 6 см

KB = 3 см

DK = KC + 7 см

Подставим известные значения в формулу:

6 * 3 = KC * (KC + 7).

18 = KC² + 7KC.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

KC² + 7KC - 18 = 0.

Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = 7² - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121.

\( \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \).

Найдем корни уравнения:

KC₁ = (-7 + 11) / 2 = 4 / 2 = 2.

KC₂ = (-7 - 11) / 2 = -18 / 2 = -9.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, KC = 2 см.

Теперь найдем длину отрезка DK:

DK = KC + 7 = 2 + 7 = 9 см.

Длина хорды CD равна сумме отрезков KC и DK:

CD = KC + DK = 2 + 9 = 11 см.

Ответ: CD = 11 см.