1) Дано: \(B_1D=2\), \(\angle B_1DB=45^\circ\). Найти: \(S_{\text{б}}\).

На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед. Треугольник \(B_1BD\) прямоугольный при \(B\), поэтому при \(\angle B_1DB=45^\circ\) он равнобедренный: \(BB_1=BD\).

1. По теореме Пифагора для треугольника \(B_1BD\): \(BB_1^2+BD^2=B_1D^2=4\). Поскольку катеты равны, \(2BB_1^2=4\), откуда \(BB_1=BD=\sqrt2\).

2. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна периметру основания, умноженному на высоту. Основание имеет стороны \(AB=CD=BD=\sqrt2\) и \(AD=\sqrt{B_1D^2-BB_1^2}=\sqrt2\). Значит, это куб со стороной \(\sqrt2\).

3. Тогда \(S_{\text{б}}=4(\sqrt2)^2=8\).

Ответ: \(8\).