3) Дано: \(AC=20\), \(BD=15\), \(AA_1=12\). Найти: \(S_{\text{б}}\).

Диагонали основания \(AC\) и \(BD\) — диагонали прямоугольника. Пусть стороны основания равны \(a\) и \(b\). Тогда \(a^2+b^2=AC^2=400\). Площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{б}}=2(a+b)\cdot AA_1\), но по одним только диагоналям прямоугольника сумма его сторон однозначно не определяется.

Например, квадрат со стороной \(10\sqrt2\) имеет диагональ 20, а прямоугольник со сторонами 12 и 16 тоже имеет диагональ 20. При высоте 12 их боковые поверхности различны: соответственно \(480\sqrt2\) и \(672\). Оба варианта совместимы с условием о диагоналях основания.

Следовательно, данных недостаточно для единственного ответа. Нужно дополнительное условие о сторонах основания или об угле между его диагоналями.